Question

17．已知f（x）=$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{{x}^{2}}$，其中a，b∈R，ab≠0．
（1）若a=-2，b=1，求不等式|f（x）|＜1的解集；
（2）若m是|a|、|b|、1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：|f（x）|＜2．

Answer 1

分析 （1）将：将a=-2，b=1代入，解不等式组，求得x的取值范围．
（2）对不等式的左边用不等式的性质放大，再由m是|a|，|b|和1中最大的一个，|x|＞m再一次放大，证出放大的表达式的值小于2，由不等号的传递性知可得结论．

解答 解：将a=-2，b=1代入得：$f（x）=-\frac{2}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，
求不等式|f（x）|＜1，可知$-1＜\frac{x-2}{{x}^{2}}＜1$
解不等式组：x＞1或x＜-2
∴不等式|f（x）|＜1的解集{x丨x＞1或x＜-2}
（2）∵|x|＞m≥|b|且|x|＞m≥1，
∴|x²|＞|b|．
∵|x|＞m≥|a|，
∴$丨\frac{a}{x}+\frac{b}{{x}^{2}}丨≤丨\frac{a}{x}丨+丨\frac{b}{{x}^{2}}丨=\frac{丨a丨}{丨x丨}+\frac{丨b丨}{丨x{丨}^{2}}$$＜\frac{丨x丨}{丨x丨}+\frac{丨x{丨}^{2}}{丨x{丨}^{2}}=2$
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，证明不等式的方法很多，主要有作差法，放缩法．本题在证明过程中用到了放缩法，在每一小题的证明中由a，b大小的不确定又用到了分类讨论．属于中档题