Question

已知函数f（x）．
（1）若f（x）=-x²，对于任意x₁，x₂，且x₁＜x₂．求证：f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

；
（2）若f（x）=lgx，对于任意的正数x₁，x₂，且x₁＜x₂．是否具有（1）中类似的结论？请你作出猜想，并加以证明．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用基本不等式即可证明，
（2）具有类似的性质，证明方式同（1）

解答： 解：（1）f（

x1+x2

2

）=-（

x1+x2

2

）²=-

1

4

（x₁²+x₂²+2x₁x₂）＞-

1

4

（x₁²+x₂²+x₁²+x₂²）=-

1

2

（x₁²+x₂²）=

f(x1)+f(x2)

2

；
（2）具有（1）中类似的结论，
理由如下：f（

x1+x2

2

）=lg（

x1+x2

2

）＞lg

x1x2

=

1

2

lgx₁x₂=

1

2

（lgx₁+lgx₂）=

f(x1)+f(x2)

2

．

点评：本题考查了函数凸凹性的性质的证明，利用了基本不等式，属于基础题