Question

16．在极坐标系中，曲线C：ρ=2cosθ，l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，即可把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程；
（2）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+$\frac{π}{3}$，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+$\frac{π}{3}$）=3cosθ-$\frac{π}{3}$sinθ=2$\frac{π}{3}$cos（θ+$\frac{π}{6}$），利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）曲线C：ρ=2cosθ，即ρ²=2cρosθ，直角坐标方程为：x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，l的直角坐标方程为x+$\sqrt{3}$y-3=0．
（2）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+$\frac{π}{3}$，
则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+$\frac{π}{3}$）
=3cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=2$\sqrt{3}$cos（θ+$\frac{π}{6}$），
当θ=-$\frac{π}{6}$时，|OA|+|OB|取得最大值2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．