Question

设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=-f （x），当0≤x≤1时，f（x）=x．
（1）求f（3）的值；
（2）当-4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴围成图形的面积．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知的等式f（x+2）=-f （x）结合函数的奇偶性求得函数的周期，把f（3）转化为f（1）结合当0≤x≤1时，f（x）=x求得f（3）的值；
（2）由已知等式求得函数的对称轴方程，结合（1）进一步得到函数的图象，再由三角形的面积公式求得f（x）的图象与x轴围成图形的面积．

解答： 解：（1）∵f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=-f （x），
则f（x+2+2）=-f （x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴f（x）的周期为4．
∴f（3）=f（-4+3）=f（-1）=-f（1）．
∵0≤x≤1时，f（x）=x，
∴f（3）=-f（1）=-1；
（2）由f（x+2）=-f （x），得f（x+2）=f（-x）．
∴函数f（x）的对称轴方程为x=1．
结合（1）可知，f（x）的图象如图：

∴当-4≤x≤4时，f（x）的图象与x轴围成图形的面积为4×

1

2

×2×1=4．

点评：本题考查了函数的周期性、奇偶性的性质，考查了函数对称轴方程的求法，是中档题．