Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c有一个零点为-1，对任意的实数x有f（x）≥2x，且当x属于区间（0，2）时，有f（x）≤

(1+x)2

2

，
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式； 
（3）若g（x）=f（x）+

m

x

在区间（0，1）内是减函数，求实数m的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）由已知中对任意的实数x有f（x）≥2x，且当x属于区间（0，2）时，有f（x）≤

(1+x)2

2

，可得2≤f（1）≤2，进而可得f（1）=2；
（2）由函数零点为-1，推出a-b+c=0，利用f（x）-x≥0恒成立，推出ac≥

1

4

，结合a+c=1，求出a=c=

1

2

，即可得到函数的解析式．
（3）g（x）=f（x）+

m

x

=

1

2

x²+x+

1

2

+

m

x

，可得g′（x）=x+1-

m

x2

，由题意知：g′（x）≤0在区间（0，1）内恒成立，即m≥x³+x²在区间（0，1）内恒成立，进而可得实数m的范围．

解答： 解：（1）∵对任意的实数x有f（x）≥2x，
∴f（1）≥2，
又∵当x∈（0，2）时，有f（x）≤

(1+x)2

2

，
∴f（1）≤2，
∴f（1）=2，
（2）由函数零点为-1得f（-1）=0，即a-b+c=0，
又由（1）知a+b+c=2，
所以解得a+c=b=1．
又由对任意的实数x有f（x）≥2x，
∴f（x）-2x=ax²-x+c的△=1-4ac≤0，
因此ac≥

1

4

①
于是a＞0，c＞0．再由a+c=1，
得ac≤（

a+c

2

）²=

1

4

②
故ac=

1

4

，且a=c=

1

2

，
故f（x）的解析式是f（x）=

1

2

x²+x+

1

2

．
（3）g（x）=f（x）+

m

x

=

1

2

x²+x+

1

2

+

m

x

，
则g′（x）=x+1-

m

x2

，
若g（x）=f（x）+

m

x

在区间（0，1）内是减函数，
则g′（x）≤0在区间（0，1）内恒成立，
即x+1-

m

x2

≤0在区间（0，1）内恒成立，
即m≥x³+x²在区间（0，1）内恒成立，
∵y=x³+x²在区间（0，1）上为增函数，且当x=1时，y=x³+x²=2，
故m≥2

点评：本题考查函数恒成立问题，解析式的求法，均值不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．