Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已BC=1，∠BCC₁=

π

3

．CC₁=2，AB=

2

．求 证：（1）C₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C、C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（3）在（2）的条件下，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AB⊥BC₁，C₁B⊥BC，由此能证明C₁B⊥平面ABC．
（2）以线段BB₁为直径画圆O，分别交线段CC₁于点E、C₁．由已知条件推导出线段CC₁的中点E即是要求的点．
（3）以B为原点，BC为x轴，BC₁为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

解答： （1）证明：∵AB⊥侧面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁．
在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
由余弦定理得BC₁=

BC2+CC12-2BC•CC1•cos π 3

=

1+4-2×1×2× 1 2

=

3

，
故有BC²+BC²₁=CC²₁，∴C₁B⊥BC，
 而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC．
（2）解：如图所示：以线段BB₁为直径画圆O，分别交线段CC₁于点E、C₁．
下面说明点E、C₁是上述所画的圆与线段CC₁的交点．
①∵B₁C₁=OB₁=1，∠OB₁C=

π

3

，
∴△OB₁C₁是正三角形，∴OC₁=1，即点C₁在所画的圆上．
②作OK⊥CC₁，垂足为K，取EK=KC₁，则点E也在所画的圆上．
∵OE=OC₁=1，∴点E也在所画的圆上．
∵CC₁∥BB₁，∴∠OBE=∠OB₁C₁=

π

3

，
∴△OBE是正三角形，∴EB=1，
∴EB=BC=1，又∠BCE=

π

3

，∴△BCE为正三角形，
∴CE=1，即E点是线段CC₁的中点．
下面证明点E满足条件．
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，B₁E⊥BE，
据三垂线定理可得B₁E⊥AE．
故线段CC₁的中点E即是要求的点．
（3）解：以B为原点，BC为x轴，BC₁为y轴，BA为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，

2

），E（1，1，0），B₁（0，2，0），A₁（0，2，

2

），

EA

=（-1，-1，

2

），

EB1

=（-1，1，0），

EA1

=（-1，1，

2

），
设平面AEB₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • EA =-x-y+ 2 z=0 n • EB1 =-x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，1，

2

），
设平面A₁EB₁的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • A1E =-a+b+ 2 c=0 m • EB1 =-a+b=0

，取a=1，得

m

=（1，1，0），
cos＜

n

，

m

＞=

1+1+0

4 • 2

=

2

2

，
∴二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值为1．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点的确定，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．