题目内容

若点P是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是左右焦点，求三角形PF1F2内切圆半径的最大值．
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：依题意知，c=
a2-b2
，设△PF1F2内切圆半径为r，S△PF1F2=r（a+
a2-b2
），三角形PF1F2的面积最大时，半径最大，从而可求得三角形PF1F2内切圆半径的最大值．
解答： 解：∵a＞b＞0，
∴c2=a2-b2，
∴c=
a2-b2
；
设△PF1F2内切圆半径为r，
则S△PF1F2=
r
2
（PF1+PF2+F1F2）
=
r
2
（2a+2c）
=r（a+c）
=r（a+
a2-b2
），
显然，当三角形PF1F2的面积最大时，半径最大，当点P为上端点或下端点时，面积最大，为bc=b
a2-b2
，
∴rmax=
bc
a+c

=
b
a2-b2
a+
a2-b2

=
b
a2-b2
(a-
a2-b2
)
[a+
a2-b2
][a-
a2-b2
]

=
a2-b2
(a-
a2-b2
)
b

=
a
a2-b2
-a2+b2
b
．
点评：本题考查椭圆的简单性质，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（1-3x）5的展开式中x3的系数为
 
．
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．求椭圆的离心率e．
已知数列{an}、{bn}满足：a1=2，an+1=
2
an+1
，bn=
an+2
an-1
．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求使|an-1|＜
1
2n
成立的正整数n的集合．
解不等式：
4x-1
4x+1
＜
1
3
．
已知函数f（x）=x+
2a2
x
-alnx（a∈R）．
（1）当a≥0时，讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x2-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．
（3）求证：ln(n+1)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
+
n
n+1
．
已知数列{an}满足：a1=a，an+1=1+
1
an
．若
3
2
＜an＜2（n≥4），求a的取值范围．
已知定义在R上的函数f(x)=
b-2x
2x+1
是奇函数
（1）求b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t2）+f（-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
已知M为椭圆
x2
4
+
y2
3
=1上一点，N为椭圆长轴上一点，O为坐标原点．给出下列结论：
①存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；
②不存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；
③存在点M，N，使得∠OMN=90°；
④不存在点M，N，使得∠OMN=90°．
其中，所有正确结论的序号是
 
．

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