Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=2，a_n+1=

2

an+1

，b_n=

an+2

an-1

．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求使|a_n-1|＜

1

2n

成立的正整数n的集合．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由递推公式依求出b₁，b₂，b₃，b₄．由此猜想：bn=(-1)n+1•2n+1，并用数学归纳法证明．
（2）由已知条件，结合（1）推导出|a_n-1|=|

3

(-2)n+1-1

|，由此能求出使|a_n-1|＜

1

2n

成立的正整数n的集合．

解答： 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=

2

an+1

，b_n=

an+2

an-1

，
∴b₁=

2+2

2-1

=4=（-1）¹⁺¹•2¹⁺¹，a2=

2

2+1

=

2

3

，
b2=

2 3 +2

2 3 -1

=-8=（-1）²⁺¹•2²⁺¹，a3=

2

2 3 +1

=

6

5

，
b₃=

6 5 +2

6 5 -1

=16=（-1）³⁺¹•2³⁺¹，a4=

2

6 5 +1

=

10

11

，
b4=

10 11 +2

10 11 -1

=-32=（-1）⁴⁺¹•2⁴⁺¹，a₅=

2

10 11 +1

=

22

21

．
由此猜想：bn=(-1)n+1•2n+1，
用数学归纳法证明：
①当n=1时，b₁=

2+2

2-1

=4=（-1）¹⁺¹•2¹⁺¹，成立；
②假设n=k时，成立，即bk=(-1)k+1•2k+1，
当n=k+1时，b_k+1=

ak+1+2

ak+1-1

=

2 ak+1 +2

2 ak+1 -1

=-2×

ak+2

ak-1

=（-1）^k+2•2^k+2，也成立，
∴bn=(-1)n+1•2n+1=（-2）ⁿ⁺¹．
（2）∵b_n=

an+2

an-1

，bn=(-2)n+1，
∴an+2=an•(-2)n+1-(-2)n+1，
∴[（-2）ⁿ⁺¹-1]a_n=2+（-2）ⁿ⁺¹，
∴an=

2+(-2)n+1

(-2)n+1-1

，
∴|a_n-1|=|

3

(-2)n+1-1

|，
n=1时，|a₁-1|=|

3

4-1

|=1＞

1

2

，
n=2时，|a₂-1|=|

3

(-2)3-1

|=

1

3

＞

1

4

，
n=3时，|a₃-1|=|

3

(-2)4-1

|=

1

5

＞

1

6

，
n=4时，|a₄-1|=|

3

(-2)5-1

|=

1

11

＜

1

8

，
n=5时，|a₅-1|=|

1

(-2)6-1

|=

1

21

＜

1

10

假设n≥4时，|a_n-1|＜

1

2n

成立．
用数学归纳法证明：
①当n=4时，|a₄-1|=|

3

(-2)5-1

|=

1

11

＜

1

8

，成立．
②假设n=k时成立，即|a_k-1|=|

3

(-2)k+1-1

|＜

1

2k

，
当n=k+1时，|a_k+1-1|=|

3

(-2)•(-2)k+1-1

|
=|

3

(-2)[(-2)k+1-1]-3

|＜

1

2k+2

，成立．
∴n≥4时，|a_n-1|＜

1

2n

成立．
故使|a_n-1|＜

1

2n

成立的正整数n的集合是{n∈Z^*|n≥4}．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查绝对值不等式成立的条件，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．