Question

三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，∠B=

π

3

，b=4，acos²

C

2

+ccos²

A

2

=6，S_△ABC=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：利用正弦定理以及二倍角的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简方程，通过正弦定理求得a+c=2b=8，两边平方后由余弦定理可求ac，代入三角形面积公式即可求值．

解答： 解：∵由已知可得：acos²

C

2

+ccos²

A

2

=

3b

2

，
∴sinA

1+cosC

2

+sinC

1+cosA

2

=

3sinB

2

，
即：sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（C+A）=3sinB，
即sinA+sinC=2sinB．
∴a+c=2b=8．
∴两边平方可得：a²+c²=64-2ac．
∴由余弦定理可得：cosB=

1

2

=

a2+c2-b2

2ac

=

64-2ac-16

2ac

=

48-2ac

2ac

，整理可解得：ac=16．
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×16×sin

π

3

=4

3

．
故答案为：4

3

．

点评：本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式的应用，考查计算能力，综合性较强，属于中档题．