Question

16．设$f（x）=2cos（ωx-\frac{π}{6}）sinωx-\frac{1}{2}cos（2ωx+π）$，其中ω＞0．
（1）求函数y=f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在区间$[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}}]$上为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，即得到f（x）的值域．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；在区间$[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}}]$上为增函数，即可ω的范围，可得ω最大值．

解答 解：设$f（x）=2cos（ωx-\frac{π}{6}）sinωx-\frac{1}{2}cos（2ωx+π）$，其中ω＞0．
化简可得：f（x）=2sinωxcosωxcos$\frac{π}{6}$+2sin²ωxsin$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2ωx）+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$
∵sin2ωx∈[-1，1]
∴f（x）∈$[{\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}}]$
即函数f（x）值域是$[{\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}}]$．
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$
∵y=f（x）在区间$[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}}]$上为增函数
∴-$\frac{3π}{4}×2ω≥-\frac{π}{2}+2kπ$且$2ω×\frac{π}{2}≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
解得：$ω≤\frac{1}{3}-\frac{4}{3}k$
∵ω＞0．
∴${ω_{max}}=\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．