Question

5．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；     
（Ⅱ）求数列{2${\;}^{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，则$\frac{1+2d}{1}$=$\frac{1+8d}{1+2d}$，解得：d=1，利用等差数列通项公式即可求得数列{a_n}的通项；     
（Ⅱ）由${2}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，则利用等比数列通项公式即可求得S_n．

解答 解：（Ⅰ）由题设知公差d，d≠0，
由a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，则$\frac{1+2d}{1}$=$\frac{1+8d}{1+2d}$，
解得：d=1或d=0（舍去），
a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，
故{a_n}的通项a_n=n；
（Ⅱ）由题意知${2}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，
由等比数列前n项和公式得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
数列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查等比数列及等比数列通项公式，考查计算能力，属于基础题．