Question

设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0．ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象关于直线x=

2π

3

对称，它的周期是π，则（　　）

• A、f（x）的图象过点（0，

  1

  2

  ）
• B、f（x）在[

  5π

  12

  ，

  2π

  3

  ]上是减函数
• C、f（x）的一个对称点中心是（

  5π

  12

  ，0）
• D、f（x）的最大值是A

Answer 1

考点：正弦函数的图象,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：由周期公式可先求ω，根据函数对称轴处取得函数最值，由函数的图象关于直线x=

2π

3

对称，可得sin（φ+

2π

3

）=±1，代入可得φ=

π

6

，根据三角函数的性质逐个检验选项．

解答： 解：∵T=π，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∵图象关于直线x=

2π

3

对称，
∴sin（φ+

2π

3

×2）=±1，
即

2π

3

×2+φ=

π

2

+kπ，k∈Z，
又∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=Asin（2x+

π

6

）．再用检验法逐项验证．
故选：C．

点评：本题考查了三角函数的性质，周期公式T=

2π

ω

的应用，三角函数对称轴的性质，正弦函数在对称轴处取得最值，属于中档题．