Question

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-2
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在R上的单调性；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的值域；
（4）若任意x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f（0）=0后，再利用条件f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）中x₁、x₂的任意性，可使结论得证．
（2）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件．
（3）由（2）的结论可知f（-3）、f（3）分别是函数y=f（x）在[-3，3]上的最大值与最小值，可得所求值域．
（4）根据函数的奇偶性、单调性可把f（ax²）+2f（-x）＜f（x）+f（-2）转化为具体不等式恒成立，利用数形结合即可得到关于a的限制条件，解出即可

解答： 解：（1）f（x）为奇函数，
由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0），而令x=y=0可得f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函数y=f（x）是奇函数
（2）f（x）在R上单调递减，
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]，
于是由题设条件f（x+y）=f（x）+f（y）可知f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）．
∵x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁）．
故函数y=f（x）是单调减函数．
（3）由函数y=f（x）是R上的单调减函数，
∴y=f（x）在[-3，3]上也为单调减函数．
∴y=f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3），最小值为f（3）．
∴f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6．
∴f（-3）=-f（3）=6
因此，函数y=f（x）在[-3，3]上的值域为[-6，6]．
（4）令x=1，y=1得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=-2-2=-4，
∵f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4，
∴f（ax²）-4＜2f（x）+f（x），
∴f（ax²）+f（2）＜f（3x），
∴f（ax²+2）＜f（3x），
又函数y=f（x）是R上的单调减函数，
∴ax²+2＞3x，
即ax²-3x+2＞0恒成立，
①当a=0时不成立，
②当a≠0时，有a＞0且△＜0，即

a＞0 9-8a＜0

解得a＞

9

8

，
故a的取值范围为（

9

8

，+∞）

点评：本题考查抽象函数 的奇偶性、单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．