Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）若a＞1时，求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求f（x）的定义域；
（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）若a＞1时，根据对数函数的性质即可求使f（x）＞0的x的解集．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则

x+1＞0 1-x＞0

，
解得-1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）∵f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）若a＞1时，由f（x）＞0得log_a（x+1）＞log_a（1-x），
则

-1＜x＜1 x+1＞1-x

，

-1＜x＜1 x＞0

，解得0＜x＜1，
故不等式的解集为（0，1）．

点评：本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图象和性质．