Question

已知函数y（x）=cosx•sinx（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈[-

π

4

，

π

4

)．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据三角函数的恒等变换把函数f（x）转化成正弦型函数f（x）=

1

2

sin(2x-

π

3

)，进一步利用整体思想求出单调递增区间．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，进一步利用定义域求出函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=cosxsin(x+

π

3

)-

3

cos2x+

3

4

=cosx[

1

2

sinx+

3

2

cosx]-

3

cos²x+

3

4

=

1

2

sinxcosx+

3

2

cos2x-

3

cos2x+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

cos2x+1

2

+

3

4

=

1

2

sin(2x-

π

3

)
则：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

  （k∈Z）
解得：-

π

12

+kπ≤x≤kπ+

5π

12

（ k∈Z）
单调增区间为：x∈[-

π

12

+kπ，kπ+

5π

12

]（ k∈Z）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=

1

2

sin(2x-

π

3

)
x∈[-

π

4

，

π

4

]
所以：-

5π

6

≤2x-

π

3

≤

π

6

-

1

2

≤

1

2

sin(2x-

π

3

)≤

1

4

即：-

1

2

≤f(x)≤

1

4

f（x）∈[-

1

2

，

1

4

]
故答案为：（Ⅰ）x∈[-

π

12

+kπ，kπ+

5π

12

]（ k∈Z）
（Ⅱ）f（x）∈[-

1

2

，

1

4

]

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型三角函数的单调区间，根据定义域求正弦型三角函数的值域．