题目内容
已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，4]上的值域．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，4]上的值域．
考点：二次函数在闭区间上的最值
专题：计算题,待定系数法,函数的性质及应用
分析：（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．
（2）讨论对称轴与区间的关系，即可得到最值，进而求得值域．
（2）讨论对称轴与区间的关系，即可得到最值，进而求得值域．
解答：
解：（1）设y=f（x）=ax2+bx+c
∵f（0）=c=4，f（x+1）-f（x）=2x+3，
∴a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2x+3，
∴2a=2，a+b=3，解得a=1，b=2，
则函数f（x）的表达式为f（x）=x2+2x+4；
（2）由于f（x）=x2+2x+4的对称轴为x=-1，
而-1∈[-3，4]，
则f（x）的最小值为f（-1）=1-2+4=3，
当x=4时，f（x）取最大值，且为f（4）=16+8+4=28，
故f（x）在[-3，4]上的值域为[3，28]．
∵f（0）=c=4，f（x+1）-f（x）=2x+3，
∴a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2x+3，
∴2a=2，a+b=3，解得a=1，b=2，
则函数f（x）的表达式为f（x）=x2+2x+4；
（2）由于f（x）=x2+2x+4的对称轴为x=-1，
而-1∈[-3，4]，
则f（x）的最小值为f（-1）=1-2+4=3，
当x=4时，f（x）取最大值，且为f（4）=16+8+4=28，
故f（x）在[-3，4]上的值域为[3，28]．
点评：本题考查利用待定系数法求函数解析式，考查二次函数在闭区间上的值域，注意对称轴与区间的关系，考查运算能力，属于中档题．
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