Question

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcos²$\frac{A}{2}$+acos²$\frac{B}{2}$=$\frac{3}{2}$c．
（1）求证：a，c，b成等差数列；
（2）若C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求c．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、二倍角公式、诱导公式，证得sinB+sinA=2sinC，可得a，c，b成等差数列．
（2）根据C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求得ab的值，再利用余弦定理求得c的值．

解答 解：（Ⅰ）证明：△ABC中，∵bcos²$\frac{A}{2}$+acos²$\frac{B}{2}$=$\frac{3c}{2}$c，由正弦定理得：
sinBcos²$\frac{A}{2}$+sinAcos²$\frac{B}{2}$=$\frac{3}{2}$sinC，
即sinB•$\frac{1+cosA}{2}$+sinA•$\frac{1+cosB}{2}$=$\frac{3}{2}$sinC，
∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC，
∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC，
∴sinB+sinA+sinC=3sinC，∴sinB+sinA=2sinC∴a+b=2c，
∴a，c，b成等差数列．
（Ⅱ）∵C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=2$\sqrt{3}$，∴ab=8，
又c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=4c²-24，
∴c²=8，可得c=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，诱导公式，属于中档题．