Question

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．
（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（I）由已知与圆的切线的性质可得△CDB∽△AEF，∠DBC=∠EFA．利用B，E，F，C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，∠EFA=∠CFE=90°，即可证明．
（II）连接CE，由于∠CBE=90°，可得过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC²DB•BA=2DB²，可得CA²=4DB²+BC²=6DB²，而DC²=DB•DA=3DB²，即可得出．

解答： （I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，
∴∠BCB=∠A，由题设知：

BC

FA

=

DC

EA

，
故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．
∵B，E，F，C四点共圆，
∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°
∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
（2）解：连接CE，
∵∠CBE=90°，
∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，
由DB=BE，有CE=DC，
又BC²DB•BA=2DB²，∴CA²=4DB²+BC²=6DB²，
而DC²=DB•DA=3DB²，
故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为

1

2

．

点评：本题考查了圆的切线的性质、四点共圆的性质、勾股定理、圆的面积与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．