Question

18．数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿ a_n=2ⁿ（n∈N^*），则{a_n}的前40项和为$\frac{{7•{2^{41}}-14}}{15}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得a_2k-1+a_2k+a_2k+1+a_2k+2=$\frac{7}{2}•{2}^{2k}$=$\frac{7}{2}•{4}^{k}$．取k=1，3，5，…，19，作和得答案．

解答 解：由a_n+1+（-1）ⁿ a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴当n=2k时，有a_2k+1+a_2k=2^2k，①
当n=2k-1时，有a_2k-a_2k-1=2^2k-1，②
当n=2k+1时，有a_2k+2-a_2k+1=2^2k+1，③
①-②得：a_2k+1+a_2k-1=2^2k-1，
①+③得：a_2k+2+a_2k=3•2^2k，
∴a_2k-1+a_2k+a_2k+1+a_2k+2=$\frac{7}{2}•{2}^{2k}$=$\frac{7}{2}•{4}^{k}$．
∴S₄₀=$\frac{7}{2}（{4}^{1}+{4}^{3}+…+{4}^{19}）$=$\frac{7}{2}•\frac{4（1-1{6}^{10}）}{1-16}$=$\frac{7（{2}^{41}-2）}{15}$．
故答案为：$\frac{{7•{2^{41}}-14}}{15}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列前n项和的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．