Question

20．已知△ABC的顶点坐标A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，求顶点C的坐标，|AC|的值，及直线BC的方程．

Answer 1

分析 ①令直线AC边所在的直线斜率为k，则$\frac{1}{2}$k=-1，从而直线AC的方程为2x+y-11=0．解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，能求出顶点C的坐标．
②根据两点间的距离公式即可求出；
③设点B的坐标为（x₀，y₀），且点B与点A关于直线2x-y-5=0对称，又点B在直线BH上，能求出x₀=-1，y₀=-3，由两点式，得直线BC的方程．

解答 解：①令直线AC边所在的直线斜率为k，
∵AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，
∴$\frac{1}{2}$k=-1，解得k=-2，
∴直线AC的方程为：y-1=-2（x-5），即，2x+y-11=0．
∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，得x=4，y=3，
∴顶点C的坐标为（4，3）．
②|AC|=$\sqrt{（4-5）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$
③设点B的坐标为（x₀，y₀），且点B与点A关于直线2x-y-5=0对称，
∴$2•\frac{{x}_{0}+5}{2}-\frac{{y}_{0}+1}{2}-5=0$，
又点B在直线BH上，
∴x₀-2y₀-5=0，
∴x₀=-1，y₀=-3，
所以，由两点式，得直线BC的方程为：$\frac{y+3}{x+1}=\frac{3+3}{4+1}$，
整理，得6x-5y-9=0．

点评 本题考查顶点坐标的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点斜式方程、直线对称、等知识点的合理运用．