Question

已知f（x₀）=xe^x，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），..，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*）（f_i′（x）为f_i（x）的导函数，i=0，1，2，…，n-1）
（Ⅰ）请写出f_n（x）的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）求f_n（x）的极小值；
（Ⅲ）设g_n（x）=-x²-2（n+1）x-8n+8，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，试求a-b的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）依题意直接写出即可，
（Ⅱ）先求出函数的导数，找到单调区间从而求出函数的极值，
（Ⅲ）先表示出a-b，再构造新函数h（x）=a-b，通过求导找到单调区间求出最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）依题意f0(x)=xex ，  f1(x)=(x+1) ex，  f2(x)=(x+2) ex ，  … ，  fn(x)=(x+n) ex(n∈N*)．
（Ⅱ）fn′(x)=(x+n+1) ex，
当x＞-（n+1）时，fn′(x)＞0；
当x＜-（n+1）时，fn′(x)＜0；
∴f_n（x）在区间（-∞，-n-1）上是减函数，在（-n-1，+∞）上是增函数，
∴f_n（x）的极小值为fn(-n-1)=- e-(n+1) ，  n∈N*．
（Ⅲ）∵a=gn(-n-1)=(n-3)2，b=f（-n-1）=-e^-（n+1），
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
于是问题转化为求cn=(n-3)2+e-(n+1)的最小值．
（法一）构造函数：
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），
则h'（x）=2（x-3）-e^-（x+1），
∵h'（x）在区间[0，+∞）上单调递增（增+增），
所以h′(x)≥h′(0)=-6-

1

e

，
又h'（3）=-e^-4＜0，h'（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使得h'（x₀）=0，
又h'（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴x∈[0，x₀）时，h'（x）＜0；
当x∈[x₀，+∞）时，h'（x）＞0，
∴h（x）_min=h（x₀），
又h（4）＞h（3），
∴当n=3时，a-b的最小值为e^-4．
（法二）利用数列的单调性：
因为cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，
当n≥3时，2n-5≥1 ，  

1

en+2

＞0 ，  

1

en+1

＜1，
∴2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

＞0，
即c_n+1＞c_n，
又因为c1=4+

1

e2

 ，  c2=1+

1

e3

 ，  c3=

1

e4

，
∴c₁＞c₂＞c₃，
∴当n=3时，a-b的最小值为e^-4．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，求函数的最值问题，构造新函数问题，本题是一道综合题．