Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若直线PA、PB的斜率之积为

1

2

．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e；
（Ⅱ）若过点P作斜率为k（k≠±

b

a

）的直线l，使得l与双曲线C有且仅有一个公共点，记直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，问是否存在实数λ使得

1

k1

+

1

k2

=λk．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的简单性质

专题：计算题,存在型,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设P（m，n），由斜率公式，得到

n

m+a

•

n

m-a

=

1

2

，化简得m²-2n²=a²，又

m2

a2

-

n2

b2

=1，即b²=

1

2

a²，由a，b，c的关系及离心率公式，即可求出；
（2）首先判断P为切点，根据双曲线上一点的切线方程，即可得到直线l的方程为

mx

a2

-

ny

b2

=1，求出斜率k=

m

2n

，再由斜率公式，求出

1

k1

+

1

k2

=

2m

n

，从而得到存在λ=4，使得

1

k1

+

1

k2

=4k．

解答： 解：（1）设P（m，n），又A（-a，0），B（a，0），
则k_PA=

n

m+a

，k_PB=

n

m-a

，
∵k_PA•k_PB=

1

2

，∴

n

m+a

•

n

m-a

=

1

2

，
即m²-2n²=a²，又

m2

a2

-

n2

b2

=1，
∴b²=

1

2

a²，即c²-a²=

1

2

a²，e²=

3

2

，
即e=

6

2

；
（2）∵l与双曲线有且只有一个公共点，且l的斜率k（k≠±

b

a

）即l不平行于渐近线，
∴P为切点，
∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一点M（x₀，y₀）的切线方程为

x0x

a2

-

y0y

b2

=1
∴直线l的方程为

mx

a2

-

ny

b2

=1即mx-2ny=2b²即k=

m

2n

，
又

1

k1

=

m+c

n

，

1

k2

=

m-c

n-0

，
∴

1

k1

+

1

k2

=

2m

n

故存在λ=4，使得

1

k1

+

1

k2

=4k．

点评：本题主要考查双曲线的方程和几何性质，重点考查离心率的求法，同时考查直线与双曲线的位置关系：相切，以及存在性问题的求法，是一道中档题．