Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且焦点F（2，0）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l过焦点F与抛物线C相交与M，N两点，且|MN|=16，求直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可设抛物线C的标准方程为y²=2px（p＞0），由焦点F（2，0），可得

p

2

=2，解得p即可．
（2）设直线l的方程为my=x-2，与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出m，进而得到直线l的方程．

解答： 解：（1）由题意可设抛物线C的标准方程为y²=2px（p＞0），
∵焦点F（2，0），∴

p

2

=2，解得p=4．
∴抛物线C的标准方程y²=8x．
（2）设直线l的方程为my=x-2，代入抛物线方程，化为y²-8my-16=0，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16．
∵|MN|=16，∴

(1+m2)[(8m)2-4×(-16)]

=16，化为m²=1．
解得m=±1．
∴直线l的方程为y=x-2或y=-x+2．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．