Question

6．设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）＞0，求a的取值范围；
（3）设n∈N^*，x＞0，求证：e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$（其中ni=n×（n-1）×…×2×1）．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{1}{2}$时，化简f（x）=x（e^x-1）-$\frac{1}{2}$x²，从而求导确定函数的单调性；
（2）化简f（x）=x（e^x-1-ax），令g（x）=e^x-1-ax，g′（x）=e^x-a，从而讨论以确定函数的单调性及最值，从而解得；
（3）利用数列归纳法证明，假设当n=k时不等式成立，即e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$，从而令m（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$+$\frac{{x}^{k+1}}{（k+1）!}$），显然m（0）=0，m′（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$）＞0，从而证明．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x（e^x-1）-$\frac{1}{2}$x²，
f′（x）=（e^x-1）+xe^x-x=（e^x-1）（x+1），
则当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上单调递增，在（-1，0）上单调递减；
（2）f（x）=x（e^x-1-ax），令g（x）=e^x-1-ax，g′（x）=e^x-a，
若a≤1，则g（x）在[0，+∞）上是增函数，
而g（0）=0，从而f（x）≥0；
若a＞1，则g（x）在（0，lna）上是减函数，
且g（0）=0，故当x∈（0，lna）时，f（x）＜0；
综上可得，a的取值范围为（-∞，1]；
（3）证明：①当n=1时，令h（x）=e^x-x-1，
h′（x）=e^x-1＞0，h（0）=0；
故h（x）＞h（0）=0，
故e^x＞x+1；
②假设当n=k时不等式成立，即e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$，
当n=k+1时，令m（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$+$\frac{{x}^{k+1}}{（k+1）!}$），
显然m（0）=0，m′（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$）＞0，
故m（x）＞m（0）=0，
即e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$+$\frac{{x}^{k+1}}{（k+1）!}$成立，
综上所述，e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及数学归纳法的应用，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．