Question

9．已知函数f（x）=x+2$\sqrt{x}$+1（x＞0），数列{a_n}满足：a₁=4，a_n+1=f（a_n），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…b_n-b_n-1是首项为1，公比为2的等比数列．
（1）求a_n，b_n．
（2）记c_n=$\frac{6}{{a}_{n}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明T_n＜6．

Answer 1

分析 （1）利用数学归纳法可求得a_n=（n+1）²；利用等比数列前n项和公式可得b_n=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1；
（2）利用放缩法可得c_n=$\frac{6}{{a}_{n}}$=$\frac{6}{（n+1）^{2}}$＜6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而证明即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=4，
当n=2时，a₂=f（a₁）=a₁+2$\sqrt{{a}_{1}}$+1=9，
假设a_n=（n+1）²，
a_n+1=f（a_n）=a_n+2$\sqrt{{a}_{n+1}}$+1
=（n+1）²+2（n+1）+1=（n+2）²，
故a_n=（n+1）²；
∵数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…b_n-b_n-1是首项为1，公比为2的等比数列，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1
=2ⁿ-1；
（2）证明：∵c_n=$\frac{6}{{a}_{n}}$=$\frac{6}{（n+1）^{2}}$＜6$\frac{1}{n（n+1）}$=6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
＜6（1-$\frac{1}{2}$）+6（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+6（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=6（1-$\frac{1}{n+1}$）＜6．

点评 本题考查了等差数列的应用及等比数列的应用，同时考查了放缩法的应用．