Question

16．已知幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则满足（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}$的a的取值范围是（-∞，-1）∪（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 根据f（x）对称性及单调性求出m的值，判断出y=x${\;}^{-\frac{m}{3}}$的单调性，从而得出a+1和3-2a的关系．

解答 解：∵f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）在（0，+∞）上是减函数，
∴m²-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3．
∵m∈N${\;}^{{\;}^{+}}$，
∴m=1，或m=2．
又∵f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的图象关于y轴对称，
∴m²-2m-3是偶数，
∴m=1．
∵g（x）=x${\;}^{-\frac{1}{3}}$在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，
且当x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，
（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}$，
∴0＞a+1＞3-2a，或a+1＞3-2a＞0，或a+1＜0＜3-2a，
解得$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{3}{2}$或a＜-1．
故答案为（-∞，-1）∪（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了幂函数的单调性与奇偶性的综合应用，属于中档题．