Question

6．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）过点P（-3，2），过双曲线的右焦点且斜率为$\frac{3}{4}$的直线与直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$和x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$（c²=a²+b²）分别相交与点M，N，若以|MN|为直径的圆过原点，求此双曲线的方程．

Answer 1

分析 设直线方程为y=$\frac{3}{4}$（x-c），求出M，N的坐标，利用以MN为直径的圆过原点，化简得到2a²=3b²①，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）过点P（-3，2），可得$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1$②，由①②可得b²=2，a²=3，即可求此双曲线的方程．

解答 解：设直线方程为y=$\frac{3}{4}$（x-c），则M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{3{b}^{2}}{4c}$），N（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{3}{4}$•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{c}$），
∵以MN为直径的圆过原点，
∴$\frac{{a}^{2}}{c}$•（-$\frac{{a}^{2}}{c}$）+（-$\frac{3{b}^{2}}{4c}$）•（-$\frac{3}{4}$•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{c}$）=0，
∴（2a²-3b²）（8a²+3b²）=0，
∴2a²=3b²，①
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）过点P（-3，2），
∴$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1$②，
由①②可得b²=2，a²=3，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查求双曲线的方程，考查学生的计算能力，正确求出双曲线的几何量是关键．