Question

11．已知椭圆E的方程是$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$，直线x=0与E交于点A，B，直线x=2与E交于点C，D．
（1）求同时经过A，B，C，D四个点的圆的方程；
（2）动圆M与（1）中的圆外切，且与直线x=-4相切，问动圆M的圆心在什么曲线上运动？

Answer 1

分析 （1）由x=0，x=2代入椭圆方程，可得A，B，C，D的坐标，再设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，解方程即可得到所求圆的方程；
（2）设动圆的圆心为M（m，n），半径为r，运用两圆相切的条件和直线和圆相切的条件，可得m，n的关系式，化简可得M的轨迹．

解答 解：（1）由x=0可得y=±$\sqrt{2}$，即有A（0，$\sqrt{2}$），B（0，-$\sqrt{2}$），
令x=2，代入椭圆方程可得y=±1，即为C（2，1），D（2，-1），
设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
易得E=0，2+$\sqrt{2}$E+F=0，5+2D+E+F=0，
解得D=-$\frac{3}{2}$，F=-2，
即有圆的方程为x²+y²-$\frac{3}{2}$x-2=0；
（2）设动圆的圆心为M（m，n），半径为r，
由x²+y²-$\frac{3}{2}$x-2=0，可得圆心为（$\frac{3}{4}$，0），半径为$\frac{\sqrt{41}}{4}$，
由外切的条件可得，$\sqrt{（m-\frac{3}{4}）^{2}+{n}^{2}}$=r+$\frac{\sqrt{41}}{4}$，
由直线和圆相切的条件可得，|m+4|=r，
即为$\sqrt{（m-\frac{3}{4}）^{2}+{n}^{2}}$=|m+4|+$\frac{\sqrt{41}}{4}$，
化简可得n²=$\frac{19+\sqrt{41}}{2}$m+18+2$\sqrt{41}$（m≥-4），
或n²=$\frac{19-\sqrt{41}}{2}$m+18-2$\sqrt{41}$（m＜-4）．
则动圆M的圆心在抛物线上运动．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法，同时考查直线和圆，圆与圆的位置关系，属于中档题．