Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₂=6，3S_n=（n+1）a_n+n（n+1）．
（1）求a₁，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）分别令n=1，n=3，建立方程即可求a₁，a₃；
（2）由数列的递推关系，构建方程组，即可求数列{a_n}的通项公式；

解答： 解 （1）令n=1得3a₁=2a₁+2，解得a₁=2；
令n=3得3（8+a₃）=4a₂+12，解得a₃=12．
（2）由已知3S_n=（n+1）a_n+n（n+1），①
3S_n+1=（n+2）a_n+1+（n+1）（n+2），②
②-①得3a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n+2（n+1），
即（n-1）a_n+1-（n+1）a_n+2（n+1）=0，③
所以na_n+2-（n+2）a_n+1+2（n+2）=0，④
④-③得na_n+2-（2n+1）a_n+1+（n+1）a_n+2=0，
即n（a_n+2-a_n+1）-（n+1）（a_n+1-a_n）+2=0，⑤
从而（n+1）（a_n+3-a_n+2）-（n+2）（a_n+2-a_n+1）+2=0，⑥
⑥-⑤得（n+1）（a_n+3-a_n+2）-2（n+1）（a_n+2-a_n+1）+（n+1）（a_n+1-a_n）=0，
即（a_n+3-a_n+2）-2（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1-a_n）=0，
即（a_n+3-a_n+2）-（a_n+2-a_n+1）=（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n），⑦
所以数列{a_n+1-a_n}是等差数列，首项为a₂-a₁=4，公差为（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=2，
所以a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
即a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…a₃-a₂=6，a₂-a₁=4，a₁=2，
相加得a_n=2+4+6+…+2（n-1）+2n=n（n+1）．

点评：本题主要考查数列通项公式，运算量较大，综合性较强，考查学生的计算能力．