Question

【题目】已知函数在内有两个极值点x1，x2（x1＜x2），其中a为常数.

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：x1+x2＞2.

Answer 1

【答案】（1）a＞1；（2）证明见解析.

【解析】

（1）转化问题为有两个变号零点,设,利用导函数可得在上单调递增,则,即转化问题为有两个变号零点,即,则,设,则直线y=a与在x∈（0,+∞）有两个交点,进而利用导函数求的最值,即可求解；

（2）由（1）,若x1+x2＞2,则g（x2）＞g（2﹣x1）,即g（x1）＞g（2﹣x1）,构造函数F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,进而证明x∈（0，1）时F（x）＞0即可.

（1）因为,

由题意知x1，x2是导函数的变号零点,

令,则,所以在上单调递增,

又,所以,

所以x1，x2是的两个零点,即,则,

又令,则g（x1）=g（x2）,

从而只需直线y=a与函数g（x）的图象在x∈（0,+∞）上有两个交点,

由可得当时,；当时,,

所以g（x）在（0,1）递减,在（1,+∞）递增,

从而,

所以a＞1.

（2）证明:由（1）知,0＜x1＜1＜x2,

若不等式x1+x2＞2成立,则g（x2）＞g（2﹣x1）,即g（x1）＞g（2﹣x1）,

令F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,x∈（0，1）,则只需F（x）＞0,

而,只需研究的符号,

因为,,

所以,

所以,则,

所以,

即x1+x2＞2成立.