题目内容
【题目】已知抛物线C:y2=4x与椭圆E:1(a>b>0)有一个公共焦点F.设抛物线C与椭圆E在第一象限的交点为M.满足|MF|
.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点P(1,)的直线交抛物线C于A、B两点,直线PO交椭圆E于另一点Q.若P为AB的中点,求△QAB的面积.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由抛物线的定义可得,则M(
,
),再由椭圆的定义可得
,即可求得
,进而求解;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用斜率公式可得,即可得到直线AB的方程,再由点到直线距离可得点
到直线
的距离
,联立抛物线和直线
,进而利用弦长公式求得
,则
,即可求解.
(1)由抛物线方程可得F(1,0),则椭圆的另一个焦点,
因为,∴M(
,
),
则2a4,则a=2,
所以,
所以椭圆E的标准方程为.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),点P(1,)在椭圆上,则Q(﹣1,
),
因为P为AB的中点,且,
则kAB,
故直线AB的方程为y(x﹣1),即8x﹣6y+1=0,
∴Q到直线AB的距离,
联立,整理得64x2﹣128x+1=0,
故x1+x2=2,x1x2,
则,
所以.
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