Question

求2x²+

1

x2+1

的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：令x²=t≥0，则2x²+

1

x2+1

=2t+

1

t+1

=f（t），利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：令x²=t≥0，则2x²+

1

x2+1

=2t+

1

t+1

=f（t），
则f′（t）=2-

1

(t+1)2

=

2t2+4t+1

(t+1)2

＞0，
因此函数f（t）在[0，+∞）单调递增，
∴当t=0即x=0时，函数f（t）取得最小值为1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题．