Question

巳知函数f（x）=x1nx，g（x）=

1

3

ax²-bx，其中a，b∈R．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x₁＞x₂≥4，总有

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞0成立，试用a表示出b的取值范围；
（Ⅲ）当b=-

2

3

a时，若f（x+1）≤

3

2

g（x）对x∈[0，+∞）恒成立，求a的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
（II）由函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x₁＞x₂≥4，总有

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞0成立，可得函数h（x）=

1

3

ax3-bx2+x在x∈[4，+∞）上单调递增．因此h′（x）=ax²-2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．变形为2b≤

ax2+1

x

=ax+

1

x

在[4，+∞）上恒成立?2b≤(ax+

1

x

)min，x∈[4，+∞）．令u（x）=ax+

1

x

，x∈[4，+∞）．对a分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．
（III）当b=-

2

3

a时，令G（x）=f（x+1）-

3

2

g（x）=（x+1）ln（x+1）-

1

2

ax2-ax，x∈[0，+∞）．由题意G（x）≤0对x∈[0，+∞）恒成立．G′（x）=ln（x+1）+1-ax-a，
x∈[0，+∞）．对a分类讨论利用研究其单调性极值与最值即可．

解答： 解：（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
∴函数f（x）在(0，

1

e

)上单调递减；在(

1

e

，+∞)单调递增．
∴当x=

1

e

时，f（x）取得最小值．且f(

1

e

)=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．
（II）由函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x₁＞x₂≥4，总有

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞0成立，
∴函数h（x）=

1

3

ax3-bx2+x在x∈[4，+∞）上单调递增．
∴h′（x）=ax²-2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．
∴2b≤

ax2+1

x

=ax+

1

x

在[4，+∞）上恒成立?2b≤(ax+

1

x

)min，x∈[4，+∞）．
令u（x）=ax+

1

x

，x∈[4，+∞）．（a＞0）．
则u′(x)=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

．
令u′（x）=0，解得x=

a

a

．
∴u（x）在(0，

a

a

)上单调递减，在(

a

a

，+∞)上单调递增．
（i）当

a

a

＞4时，即0＜a＜

1

16

时，u（x）在[4，

a

a

)上单调递减，在(

a

a

，+∞)上单调递增．
∴u（x）_min=u(

a

a

)=2

a

，∴2b≤2

a

，即b≤

a

．
（ii）当

a

a

≤4时，即a≥

1

16

，函数u（x）在[4，+∞）上单调递增，
∴2b≤u(4)=4a+

1

4

，即b≤2a+

1

8

．
综上可得：当0＜a＜

1

16

时，即b≤

a

．当a≥

1

16

，b≤2a+

1

8

．
（III）当b=-

2

3

a时，令G（x）=f（x+1）-

3

2

g（x）=（x+1）ln（x+1）-

1

2

ax2-ax，x∈[0，+∞）．
由题意G（x）≤0对x∈[0，+∞）恒成立．G′（x）=ln（x+1）+1-ax-a，x∈[0，+∞）．
（i）当a≤0时，G′（x）＞0，∴G（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．
∴G（x）＞G（0）=0在x∈（0，+∞）成立，与题意矛盾，应舍去．
（ii）当a＞0时，令v（x）=G′（x），x∈[0，+∞）．
则v′(x)=

1

x+1

-a，

1

x+1

∈(0，1]，
①当a≥1时，v′（x）≤0在x∈[0，+∞）上成立．
∴v（x）在x∈[0，+∞）单调递减．
∴v（x）≤v（0）=1-a≤0，∴G′（x）在x∈[0，+∞）上成立．
∴G（x）在x∈[0，+∞）上单调递减．
∴G（x）≤G（0）=0在x∈[0，+∞）成立，符合题意．
②当0＜a＜1时，v′(x)=

1

1+x

-a=

-a[x-( 1 a -1)]

x+1

，x∈[0，+∞）．
∴v（x）在[0，

1

a

-1)上单调递增，在(

1

a

-1，+∞)单调递减．
∵v（0）=1-a＞0，
∴v（x）＞0在[0，

1

a

-1)上成立，即G′（x）＞0在[0，

1

a

-1)上成立，
∴G（x）在[0，

1

a

-1)上单调递增，
∴G（x）＞G（0）=0在(0，

1

a

-1)成立，与题意矛盾．
综上可知：a的最小值为1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了构造函数研究函数的单调性问题，考查了转化思想方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．