Question

已知(x

x

-

1

x

)6的二项展开式中的第5项的值等于5，数列{

1

(2+x)n

}的前n项为S_n，则

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

考点：数列的极限,数列的求和,二项式定理的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：由二项展开式中的通项公式可得T₅=

∁

4 6

(x

x

)2×(-

1

x

)4=

15

x

=5，解得x=3．可得数列{

1

(2+x)n

}的通项a_n=

1

5n

．其前n项为S_n=

1

4

(1-

1

5n

)，利用数列极限的运算法则即可得出．

解答： 解：T₅=

∁

4 6

(x

x

)2×(-

1

x

)4=

15

x

=5，解得x=3．
数列{

1

(2+x)n

}的通项a_n=

1

5n

．
其前n项为S_n=

1 5 (1- 1 5n )

1- 1 5

=

1

4

(1-

1

5n

)
则

lim

n→∞

Sn=

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：本题考查了二项展开式中的通项公式、等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．