Question

已知等比数列{a_n}的首项为a₁=

1

3

，公比q满足条件q＞0且q≠1．又已知a₁，5a₃，9a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项；    
（2）令b_n=log₃

1

an

，试比较

1

b1b3

+

1

b2b4

+

1

b3b5

+

1

b4b6

+…+

1

bn-1bn+1

+

1

bnbn+2

与

3

4

的大小．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁，5a₃，9a₅成等差数列．
∴10a₃=a₁+9a₅，
∴10a1q2=a1+9a1q4，
∴9q⁴-10q²+1=0，
∵q＞0且q≠1，
∴q=

1

3

，
∴an=(

1

3

)n．
（2）∵b_n=log₃

1

an

=n，
∴

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴

1

b1b3

+

1

b2b4

+

1

b3b5

+

1

b4b6

+…+

1

bn-1bn+1

+

1

bnbn+2

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．