Question

1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）试求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，利用互化公式可得：曲线C的普通方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），消去参数t可得：直线l的普通方程．
（2）设点M的直角坐标是$（\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，利用点到直线的距离公式可得：点M到直线l的距离是d=$\frac{{\sqrt{3}|{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-1}|}}{2}$，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，利用互化公式可得：曲线C的普通方程是$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），消去参数t可得：直线l的普通方程是$x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}=0$．
（2）设点M的直角坐标是$（\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，
则点M到直线l的距离是$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosθ+\sqrt{3}sinθ-\sqrt{3}}|}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}|{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-1}|}}{2}$，
因此当$sin（θ+\frac{π}{4}）=-1$时，d取得最大值为$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域、椭圆参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．