Question

11．设抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的斜率为±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，求出A，B的横坐标，由|AF|=3|BF|得到x₁=3x₂+2，代入A，B的坐标得答案．

解答 解：由y²=4x，得F（1，0），
设AB所在直线方程为y=k（x-1），
联立y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
结合|AF|=3|BF|，
解方程得：x₁=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$+$\frac{2\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$，x₂=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$．
再由|AF|=3|BF|，
得x₁+1=3（x₂+1），即
x₁=3x₂+2，
∴$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$+$\frac{2\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$=3（$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$）+2，
解得：k=±$\sqrt{3}$．
故答案为：±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．