Question

已知定义在区间[0，1]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-ax+2（a≥0），g（x）=-

1

x+1

+1．
（1）求函数f（x）的最小值m（a）；
（2）若对任意x₁，x₂∈[0，1]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数的性质通过讨论a的范围，从而得到函数的最小值；（2）由题意得不等式组解出即可．

解答： 解：（1）由f（x）=（x-

a

2

）²+2-

a2

4

得：
m（a）=

2- a2 4 ，0≤a＜2 3-a，a≥2.

；
（2）易知函数g（x）在[0，1]上为增函数，值域为[0，

1

2

]，
由题设，得f（x₂）_min＞g（x₁）_max，
故

0≤a＜2 2- a2 4 ＞ 1 2

或

a≥2 3-a＞ 1 2

，
解得0≤a＜

5

2

，
所求a的取值范围为[0，

5

2

）．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的最值问题，是一道基础题．