Question

设函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

+1（ω＞0），直线y=

3

与函数f（x）图象相邻两公共点的距离为π
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若点（

B

2

，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，sinA=3sinC，求a，c的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及三角函数的倍角公式将函数进行化简，结合函数的周期公式即可求ω的值；
（Ⅱ）根据条件求出B，利用正弦定理和余弦定理进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

+1
=sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-cosωx
=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx
=

3

（

1

2

sinωx-

3

2

cosωx）
=

3

sin（ωx-

π

3

）．
∵直线y=

3

与函数f（x）图象相邻两公共点的距离为π
∴函数f（x）的周期T=2π=

2π

ω

，
解得ω=1；
（Ⅱ）∵ω=1，∴f（x）=

3

sin（x-

π

3

）．
∵点（

B

2

，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，
∴

B

2

-

π

3

=kπ，即B=2kπ+

2π

3

，
则当k=0时，B=

2π

3

，
∵sinA=3sinC，∴由正弦定理得a=3c，
∵b=3，∴b²=a²+c²-2accos

2π

3

，
即9=9c²+c²+2×3c×c×

1

2

=13c²，
即c²=

9

13

，解得c=

3 13

13

，a=

9 13

13

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及正弦定理和余弦函数的应用，考查学生的运算能力．