Question

选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范围．
（Ⅱ）设x，y，z∈R，且

x2

16

+

y2

5

+

z2

4

=1，求x+y+z的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式知，|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1，依题意即可求得a的取值范围；
（Ⅱ）利用柯西不等式[4²+(

5

)2+2²][(

x

4

)2+(

y

5

)2+(

z

2

)2]≥(4×

x

4

+

5

×

y

5

+2×

z

2

)2，可求得|x+y+z|≤5，从而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1，
∴a＞1，
即a的取值范围是（1，+∞）；
（Ⅱ）由柯西不等式，得[4²+(

5

)2+2²][(

x

4

)2+(

y

5

)2+(

z

2

)2]≥(4×

x

4

+

5

×

y

5

+2×

z

2

)2，
即25×1≥（x+y+z）²，
∴|x+y+z|≤5，
解得：-5≤x+y+z≤5，
即x+y+z的取值范围为[-5，5]．

点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式、不等式证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于难题．