Question

如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15

2

海里/小时，在甲船出发的同时，乙船从A岛正南方向30海里处的B岛出发，朝北偏东θ(tanθ=

3

4

)的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．
（1）求2小时后，甲船的位置离B岛多远？
（2）若两船能恰好在某点M处相遇，求乙船的速度．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（1）求出AC，再利用余弦定理，求出BC即可；
（2）解法一：设两船相遇的时间为t小时，由正弦定理得

AM

sinθ

=

BM

sin135°

，即可得出结论；
解法二：由题意，∠AMB=45°-θ，由正弦定理得

AM

sinθ

=

AB

sin∠AMB

，求出AM，BM，求出两船相遇的时间，即可得出结论．

解答： 解：（1）设2小时后甲船航行到C处，AC=15

2

×2=30

2

…（2分）
由余弦定理得BC=

AC2+AB2-2AC•ABcos135°

=30

5

即2小时后，甲船的位置离B岛30

5

海里…（6分）
（2）解法一：设两船相遇的时间为t小时
∵tanθ=

3

4

，θ为锐角，∴sinθ=

3

5

…（8分）
由正弦定理得

AM

sinθ

=

BM

sin135°

，即

15 2 •t

3 5

=

m•t

2 2

…（10分）
解得m=25，即乙船的速度为25海里/小时…（12分）
解法二：由题意，∠AMB=45°-θ
∵tanθ=

3

4

，θ为锐角
∴sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

∴sin∠AMB=sin(45°-θ)=

2

2

(cosθ-sinθ)=

2

10

…（8分）
由正弦定理得

AM

sinθ

=

AB

sin∠AMB

∴AM=90

2

同理可得BM=150…（10分）
两船相遇的时间为t=

90 2

15 2

=6
∴m=

150

6

=25，即乙船的速度为25海里/小时…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查转化思想和运算求解能力，属于中档题．