Question

已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为

5

，过C作⊙A的切线交x轴于点B，
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标．
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）根据直线与圆相切的性质可求出BC的方程．
（2）过G作x轴的垂线，垂足为H，连结AG，先求出OH，即G点的横坐标，然后代入直线BC的方程，即可求出；
（3）假设存在，根据直线与圆相交的性质解决．

解答： （1）由题意可知，圆的方程是（x-1）²+y²=5
将y=0代入圆的方程得
点C的坐标为（0，2），
∵k_AC=-2，
∴kBC=-

1

2

得出直线的解析式为y=

1

2

x+2；
（2）如图：过G作x轴的垂线，垂足为H，连结AG，
设G（x₀，y₀），在Rt△ACG中，∠ACG=90°，AC=

5

，
求得CG=

15

3

，
又由OB=4，BC=

OB2+OC2

=2

5

，
由CO∥GH，
得

OH

BO

=

CG

BC

，
则OH=

2 3

3

，即x0=

2 3

3

．
又点G在直线BC上，
∴y0=

1

2

×

2 3

3

+2=

3 +6

3

，
∴G（

2 3

3

，

3 +6

3

）
（3）如图：在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．
理由：由题意得△AEF是等腰三角形，
∴只能是∠EAF=90°，
∴△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形．
过点A作AM⊥EF于点M，
则AM=

1

2

EF=

10

2

．
由△BAM≌△BCO得

BA

BC

=

AM

OC

，
设A（a，0），则BA=a+4，BC=2

5

，OC=2，AM=

10

2

可得出a=

5 2 -8

2

，
∴A（

5 2 -8

2

，0）．
同理当BA=-4-a，BC=2

5

，OC=2，
可得出a=-

5 2 +8

2

，∴A′（-

5 2 +8

2

，0）．
∴存在两个点使△AEF为直角三角形．它的坐标是A（

5 2 -8

2

，0），A′（-

5 2 +8

2

，0）．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，两直线垂直的性质，直角三角形勾股定理等知识的综合应用．