Question

NBA（美国职业篮球联赛）决赛实行7局制，比赛先胜4局者获得比赛的胜利（每局比赛都必须分出胜负，没有平局），比赛随即结束．除第七局甲队获胜的概率是

1

2

外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是

2

3

，假设各局比赛结果相互独立．
（1）求甲队以4：0获得胜利的概率；
（2）若每局比赛胜利方得1分，对方得0分，求乙队最终比赛总得分X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）记“甲队以4：0胜利”为事件A，由题意，各局比赛结果相互独立，由此能求出甲队以4：0胜利的概率．
（2）由题意知，甲赢则乙输，由此知X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答： 解：（1）记“甲队以4：0胜利”为事件A，由题意，各局比赛结果相互独立，
故P（A）=（

2

3

）⁴=

16

81

，
∴甲队以4：0胜利的概率是

16

81

．…2分
（2）由题意知，甲赢则乙输，可得X的取值可能为0，1，2，3，4．
P（X=0）=（

2

3

）⁴=

16

34

，
P（X=1）=

C

1 4

•

1

3

(

2

3

)3•

2

3

=

64

35

，…3分
P（X=2）=

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3•

2

3

=

160

36

，…4分
P（X=3）=

C

3 6

(

1

3

)3(

2

3

)3•

1

2

=

80

36

，…5分
P（X=4）=(

1

3

)4+

C

1 4

(

2

3

)(

1

3

)3(

1

3

)+

C

2 5

(

2

3

)2(

1

3

)3(

1

3

)+

C

3 6

(

2

3

)3(

1

3

)3(

1

2

)=

153

36

，…9分
故X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	144 36	192 36	160 36	80 36	153 36

∴E（X）=0×

144

36

+1×

192

36

+2×

160

36

+3×

80

36

+4×

153

36

=

2604

37

=

1364

729

．…10分．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．