题目内容
10．
已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的长轴长为4，焦距为$2\sqrt{3}$，以A为圆心的圆（x-2）2+y2=r2（r＞0）与椭圆相交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的取值范围；
（Ⅲ）设P是椭圆C长异于B、C的任一点，直线PB、PC与x轴分别交于M、N，
求S△POM•S△PON的最大值．
分析 （Ⅰ）椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的长轴长，焦距，及a2=b2+c2，求得a、b即可．
（Ⅱ）设B（x0，y0）则C（x0，-y0），可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}={（{x_0}-2）^2}-y_0^2$=${（{x_0}-2）^2}-（1-\frac{x_0^2}{4}）$=$\frac{5}{4}x_0^2-4{x_0}+3=\frac{5}{4}{（{x_0}-\frac{8}{5}）^2}-\frac{1}{5}$，由-2＜x0＜2，求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的取值范围．
（Ⅲ）设P（x1，y1）（y1≠±y0），得到直线PB，PC的方程，分别令y=0得${x_M}=\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{y_0}-{y_1}}}$，${x_N}=\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{y_0}+{y_1}}}$，得${S_{△POM}}•{S_{△PON}}=\frac{1}{4}|OM||ON|•y_1^2$=$\frac{1}{4}|{x_M}{x_N}|•y_1^2=y_1^2$，
依据-1≤y1≤1，求得S△POM•S△PON取得最大值．
解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的长轴长为4，焦距为$2\sqrt{3}$，∴2a=4，2c=2$\sqrt{3}$，
∴a=2，b2=a2-c2=1
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）设B（x0，y0）则C（x0，-y0）且$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}={（{x_0}-2）^2}-y_0^2$=${（{x_0}-2）^2}-（1-\frac{x_0^2}{4}）$=$\frac{5}{4}x_0^2-4{x_0}+3=\frac{5}{4}{（{x_0}-\frac{8}{5}）^2}-\frac{1}{5}$，
因为-2＜x0＜2，所以$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的取值范围为$[-\frac{1}{5}，16）$．
（Ⅲ）设P（x1，y1）（y1≠±y0），则$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$，
直线PB，PC的方程分别为：$PB：y-{y_1}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，$PC：y-{y_1}=\frac{{-{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
分别令y=0得${x_M}=\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{y_0}-{y_1}}}$，${x_N}=\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{y_0}+{y_1}}}$，
所以${x_M}{x_N}=\frac{x_1^2y_0^2-x_0^2y_1^2}{y_0^2-y_1^2}$=$\frac{（4-4y_1^2）y_0^2-（4-4y_0^2）y_1^2}{y_0^2-y_1^2}$=$\frac{4（y_0^2-y_1^2）}{y_0^2-y_1^2}=4$，
于是${S_{△POM}}•{S_{△PON}}=\frac{1}{4}|OM||ON|•y_1^2$=$\frac{1}{4}|{x_M}{x_N}|•y_1^2=y_1^2$，
因为-1≤y1≤1，所以S△POM•S△PON取得最大值为1．
点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积，面积的范围，属于中档题．
小学教材全测系列答案| A． | （-∞，0） | B． | （0，$\frac{1}{2e}$） | C． | （-∞，0）∪（$\frac{1}{2e}$，+∞） | D． | （$\frac{1}{2e}$，+∞） |
| A． | （-2，0） | B． | （0，2） | C． | （-1，2） | D． | （-2，-1） |
| A． | {2} | B． | {3} | C． | {5，6} | D． | {3，5，6} |
如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器（无盖），底面棱长为1dm（dm为分米），高为5dm，两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到下底面距离分别为3dm和4dm，则（水不外漏情况下）此容器可装的水最多为（ ）| A． | $\frac{9}{2}d{m^3}$ | B． | 4dm3 | C． | $\frac{7}{2}d{m^3}$ | D． | 3dm3 |
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F分别是AD，PB的中点．