Question

3．设a是正整数，如果二次函数y=2x²+（2a+23）x+10-7a和反比例函数y=$\frac{11-3a}{x}$的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共整点．

Answer 1

分析 根据二次函数y=2x²+（2a+23）x+10-7a和反比例函数 的图象有公共整点，可以判断出△=（a+18）²-224是一个完全平方数．将原式分解后可得（a+18+k）（a+18-k）=224，从而判断出a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，将224分解成两个奇偶性相同的数的积，与a+18+k和a+18-k对应相等，列出方程组即可．

解答 解：联立方程组，$\left\{\begin{array}{l}{y={2x}^{2}+（2a+23）x+10-7a}\\{y=\frac{11-3a}{x}}\end{array}\right.$，
消去y得2x²+（2a+23）x+10-7a=$\frac{11-3a}{x}$，
即2x³+（2a+23）x²+（10-7a）x+3a-11=0，
分解因式得（2x-1）[x²+（a+12）x+11-3a]=0（1）
如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，
从而关于x的一元二次方程x²+（a+12）x+11-3a=0（2）必有整数根，
所以一元二次方程（2）的判别式△应该是一个完全平方数，
而△=（a+12）²-4（11-3a）=a²+36a+100=（a+18）²-224．
所以（a+18）²-224应该是一个完全平方数，
设（a+18）²-224=k²（其中k为非负整数），
则（a+18）²-k²=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，
而224=112×2=56×4=28×8，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a+18+k=112}\\{a+18-k=2}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{a+18+k=56}\\{a+18-k=4}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{a+18+k=28}\\{a+18-k=8}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=39}\\{k=55}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{k=26}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{k=10}\end{array}\right.$．
而a是正整数，所以只可能$\left\{\begin{array}{l}{a=39}\\{k=55}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{k=26}\end{array}\right.$，
当a=39时，方程（2）即x²+51x-106=0，它的两根分别为2和-53，
易求得两个函数的图象有公共整点（2，-53）和（-53，2）．
当a=12时，方程（2）即x²+24x-25=0，它的两根分别为1和-25，
易求得两个函数的图象有公共整点（1，-25）和（-25，1）．

点评 此题考查了和整数相关的函数．此题需要进行逻辑推理，给出的思维空间很小，需要很高的数学水平才能顺利解答．