Question

锐角三角形ABC中，角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c．已知

m

=（c-2a，b），

n

=（cosB，cosC），且|

m

+

n

|=|

m

-

n

|．又b=

3

．
（1）求三角形ABC的面积S的最大值；
（2）求三角形ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量的综合题,三角形的面积公式,向量的模

专题：综合题,平面向量及应用

分析：（1）利用|

m

+

n

|=|

m

-

n

|，可得

m

•

n

=0，结合

m

=（c-2a，b），

n

=（cosB，cosC），可求B，利用余弦定理，结合基本不等式，可得ac≤3，利用S=

1

2

acsinB，即可求三角形ABC的面积S的最大值；
（2）求三角形ABC的周长l的取值范围，关键是求a+c的范围，利用基本不等式可求．

解答： 解：（1）∵

m

=（c-2a，b），

n

=（cosB，cosC），且|

m

+

n

|=|

m

-

n

|，
∴

m

•

n

=0，
∴（c-2a）cosB+bcosC=0，
∴（sinC-2sinA）cosB+sinBcosC=0，
∴-2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∴cosB=

1

2

，
∴B=60°，
∵b=

3

，
∴3=a²+c²-ac≥2ac-ac，
∴ac≤3，
∴S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3 3

4

，即三角形ABC的面积S的最大值为

3 3

4

；
（2）l=a+b+c=

3

+a+c，
∵3=a²+c²-ac，
∴3=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3•

(a+c)2

4

，
∴a+c≤2

3

，
∵a+c＞b=

3

，
∴

3

＜a+c≤2

3

，
∴2

3

＜l≤3

3

．

点评：本题考查平面向量的综合，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键．