Question

设实数x，y满足约束条件

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y≤2

，则u=

2x+y

x+2y

的取值范围是（　　）

• A、[

  3

  10

  ，

  9

  10

  ]
• B、[

  1

  5

  ，

  4

  5

  ]
• C、[

  4

  5

  ，

  7

  5

  ]
• D、[

  1

  5

  ，

  7

  5

  ]

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则对应的x＞0，y＞0，
则u=

2x+y

x+2y

=

2+ y x

1+2• y x

，
设k=

y

x

，则u=

2+k

1+2k

=

k+ 1 2 + 3 2

1+2k

=

1

2

+

3 2

1+2k

，
由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，
经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=

1

3

，
即

1

3

≤k≤2．
∴

5

3

≤1+2k≤5，

1

5

≤

1

1+2k

≤

3

5

，
∴

3

10

≤

3 2

1+2k

≤

9

10

，
即

4

5

≤

1

2

+

3 2

1+2k

≤

7

5

，
即

4

5

≤z≤

7

5

，
故选：C

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．