Question

已知圆C的圆心C在直线y=x上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离为

2

．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点M（1，

1

2

）且与圆C相交于A，B两点，求弦长|AB|的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由已知设出圆心坐标及半径，根据两点距离公式以及直线与圆相切的性质即可求出圆的标准方程．
（Ⅱ）分情况讨论，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时弦长|AB|=2．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y-

1

2

=k(x-1)，利用弦长公式可得|AB|=2

1- 1 4(1+k2)

，从而可得k=0时，弦长|AB|取最小值|AB|=

3

．

解答： 解：（Ⅰ）由题可设圆心C（a，a），半径r，
∵|CO|=

2

=

a2+a2

．
∴a=±1．
又∵圆C与x轴正半轴相切，
∴a=1，r=1．
∴圆C的标准方程：（x-1）²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x=1，此时弦长|AB|=2．
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程：y-

1

2

=k(x-1)
点C到直线l的距离d=

1

2 1+k2

，
弦长|AB|=2

1- 1 4(1+k2)

，
当k=0时，弦长|AB|取最小值|AB|=

3

，
此时直线l的方程为y=

1

2

．
由①②知当直线l的方程为y=

1

2

时，弦长|AB|取最小值为|AB|=

3

．

点评：本题考查直线与圆相交的性质，圆的标准方程等知识的综合应用，属于中档题．