Question

已知向量|

a

|=1，|

b

|=2，|

c

|=3，且

a

，

b

，

c

两两的夹角都是

2

3

π，求：
（1）（2

a

+3

c

）•（

b

+2

c

）；
（2）|

a

+

b

+

c

|；
（3）

a

+

b

+

c

与

c

所成的夹角．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意可得

a

•

b

=-1，

b

•

c

=-3，

a

•

c

=-

3

2

．再根据（2

a

+3

c

）•（

b

+2

c

）=2

a

•

b

+4

a

•

c

+3

b

•

c

+6c²，计算求得结果．
（2）|

a

+

b

+

c

|=

( a +  b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a  • b  +2 b • c   +2 a • c

，计算求得结果．
 （3）设

a

+

b

+

c

与

c

所成的夹角为θ，则由cosθ=

( a + b + c )• c

| a + b + c |•| c |

，求得θ 的值．

解答： 解：（1）由题意可得

a

•

b

=1×2×cos

2π

3

=-1，

b

•

c

=2×3×cos

2π

3

=-3，

a

•

c

=1×3×cos

2π

3

=-

3

2

．
∴（2

a

+3

c

）•（

b

+2

c

）=2

a

•

b

+4

a

•

c

+3

b

•

c

+6c²=-2-6-9+54=37．
（2）|

a

+

b

+

c

|=

( a +  b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a  • b  +2 b • c   +2 a • c

=

1+4+9-2-6-3

=

3

．
 （3）设

a

+

b

+

c

与

c

所成的夹角为θ，则cosθ=

( a + b + c )• c

| a + b + c |•| c |

=

- 3 2 -3+9

3 ×3

=

3

2

，
∴θ=

π

6

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量积表示两个两个向量的夹角，属于中档题．