Question

已知函数f（x）=e^x+ax²-e²x．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x＞0时，总有f（x）＞-e²x，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到f′（2），由f′（2）=0求得a的值，把a的值代入导函数，求出导函数的零点，由零点对函数的定义域分段，根据不同区间段内导函数的符号判断原函数的单调性；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）＞-e²x，分离a后构造辅助函数g（x）=-

ex

x2

，由导数求g（x）的最值，则实数a的取值范围可求．

解答： 解：（1）由f（x）=e^x+ax²-e²x，得：
f′（x）=e^x+2ax-e²，即y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率k=4a=0，
此时f（x）=e^x-e²x，f′（x）=e^x-e²．
由f′（x）=0，得x=2．
当x∈（-∞，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，2）上单调递减；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增．
（2）由f（x）＞-e²x得：a＞-

ex

x2

．
设g（x）=-

ex

x2

，x＞0．
则g′(x)=

ex(2-x)

x2

．
∴当0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）在（0，2）上单调递增；
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）上单调递减．
∴g(x)≤g(2)=-

e2

4

．
∴a的取值范围为（-

e2

4

，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数的单调性与导函数符号见得关系，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．